"Standardised" coordinates
for the platonic solids

Written by Paul Bourke
June 1991

Tetrahedron

  1  1  1    -1  1 -1     1 -1 -1
 -1  1 -1    -1 -1  1     1 -1 -1
  1  1  1     1 -1 -1    -1 -1  1
  1  1  1    -1 -1  1    -1  1 -1

Octahedron

 -a  0  a    -a  0 -a     0  1  0
 -a  0 -a     a  0 -a     0  1  0
  a  0 -a     a  0  a     0  1  0
  a  0  a    -a  0  a     0  1  0
  a  0 -a    -a  0 -a     0 -1  0
 -a  0 -a    -a  0  a     0 -1  0
  a  0  a     a  0 -a     0 -1  0
 -a  0  a     a  0  a     0 -1  0
Where a = 1 / sqrt(2)

Hexahedron (Cube)

 -1 -1 -1     1 -1 -1     1 -1  1    -1 -1  1
 -1 -1 -1    -1 -1  1    -1  1  1    -1  1 -1
 -1 -1  1     1 -1  1     1  1  1    -1  1  1
 -1  1 -1    -1  1  1     1  1  1     1  1 -1
  1 -1 -1     1  1 -1     1  1  1     1 -1  1
 -1 -1 -1    -1  1 -1     1  1 -1     1 -1 -1

Icosahedron

  0  a -1     a  1  0    -a  1  0
  0  a  1    -a  1  0     a  1  0
  0  a  1     0 -a  1    -1  0  a
  0  a  1     1  0  a     0 -a  1
  0  a -1     0 -a -1     1  0 -a
  0  a -1    -1  0 -a     0 -a -1
  0 -a  1     a -1  0    -a -1  0
  0 -a -1    -a -1  0     a -1  0
 -a  1  0    -1  0  a    -1  0 -a
 -a -1  0    -1  0 -a    -1  0  a
  a  1  0     1  0 -a     1  0  a
  a -1  0     1  0  a     1  0 -a
  0  a  1    -1  0  a    -a  1  0
  0  a  1     a  1  0     1  0  a
  0  a -1    -a  1  0    -1  0 -a
  0  a -1     1  0 -a     a  1  0
  0 -a -1    -1  0 -a    -a -1  0
  0 -a -1     a -1  0     1  0 -a
  0 -a  1    -a -1  0    -1  0  a
  0 -a  1     1  0  a     a -1  0
Where a = 2 / (1 + sqrt(5)) = 1 / phi

Dodecahedron

  0 -a  b     0  a  b    -1  1  1    -b  0  a    -1 -1  1
  0 -a  b     0  a  b     1  1  1     b  0  a     1 -1  1
  0 -a -b     0  a -b     1  1 -1     b  0 -a     1 -1 -1
  0  a -b     0 -a -b    -1 -1 -1    -b  0 -a    -1  1 -1
  b  0 -a     b  0  a     1 -1  1     a -b  0     1 -1 -1
  b  0 -a     b  0  a     1  1  1     a  b  0     1  1 -1
 -b  0 -a    -b  0  a    -1 -1  1    -a -b  0    -1 -1 -1
 -b  0 -a    -b  0  a    -1  1  1    -a  b  0    -1  1 -1
  a  b  0    -a  b  0    -1  1  1     0  a  b     1  1  1
  a  b  0    -a  b  0    -1  1 -1     0  a -b     1  1 -1
  a -b  0    -a -b  0    -1 -1  1     0 -a  b     1 -1  1
  a -b  0    -a -b  0    -1 -1 -1     0 -a -b     1 -1 -1
Where a = 2 / (1 + sqrt(5)) = 1 / phi and b = 1 / a